一些特殊旋轉體的表面積和體積公式
林礽堂★、李政貴★★、柯明忠★★、張敏雪☆、陳昭地☆☆
★臺北市立建國高中數學退休教師
★★臺北市立北一女中數學退休教師
☆國立陽明高中數學教師
☆☆國立臺灣師範大學數學系教授
摘要
有鑑於教育部普通高級中學99數學必修課綱不再涉及球體的相關題材，惟其幾何性質卻是易學易懂的重要空間概念，對於選修微積分旋轉體的題材應用至為重要，因此有必要對球體等旋轉體的性質做一個初步的學習。本文旨以綜合幾何法探究旋轉體的綜合性質，並推導其表面積與體積的公式，進一步，用微積分加以比照印證，應為教師輔導學生學習空間概念與旋轉體體積求法的絕佳輔助教材。
關鍵字：
旋轉體、表面積、體積、直圓錐、球體、球冠、球缺、祖氏原理
一、引言
在日常生活中，除了多面體外，常見的器具還有圓柱形的柱子、鐵皮或玻璃做的圓柱形瓶罐、圓錐形的甜筒、球形狀的籃球或排球等等。圓鋼呈圓柱形、鉛錘呈圓錐形、糧囤呈圓錐臺形，這樣形狀的物件不勝枚舉；這些空間圖形的基本概念及性質，特別是其表面積及其體積，都是本文所要探討的課題，尤其球冠的面積及球缺的體積公式，更是最值得高中數學教學的參考（[1]）。
二、圓柱、圓錐與圓錐臺及其側面表面積
以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體積稱為直圓柱，如圖1(a)所示。以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體，稱為直圓錐，如圖1(b)所示。以直角梯形（夾一腰的兩角均為直角的梯形）的垂直於底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體，稱為直圓錐臺，如圖1(c)所示。在本文中，我們只討論直圓柱、直圓錐與直圓錐臺，從此依序稱為圓柱、圓錐與圓錐臺。
擺正的圓柱，圓錐與圓錐臺的外形，它們有一個共同的特徵，都有一條旋轉軸；分別以矩形、直角三角形、直角梯形(夾一腰的兩角均為直角的梯形)的一邊、一直角邊、垂直於底邊的腰所在之直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而成的空間圖形，依序叫做圓柱、圓錐及圓錐臺，如圖1(a)、(b)、(c)所示。
圓柱、圓錐與圓錐臺的旋轉軸叫做它們的軸，在軸上這條邊的長（如圖1(a)、(c)中 ，(b)中 ）叫做它們的高，垂直於軸的邊旋轉而成的圓面圖形叫做它們的底面；不垂直於軸的邊旋轉而成的曲面圖形叫做它們的側面，無論旋轉到那一個位置，這條邊都叫做側面的母線，如圖1中，直線 都是軸；線段 都是高；而 等都是母線。
從上段有關圓錐及圓錐臺的定義，很容易觀察出用兩個平行於底面的相異兩平面，去截一個圓錐可以得到圓錐臺；圓柱、圓錐及圓錐臺等都是有旋轉軸的封閉立體，它們都叫做旋轉體，而它們的側面都叫做旋轉面。
圓柱、圓錐及圓錐臺有下面重要有用的性質：
(1) 用平行於底面的平面去截，所得截面都是圓；
(2) 用包含軸的平面去截，所得截面依序是全等的矩形，全等的等腰三角形及全等的等腰梯形。
把圓柱、圓錐及圓錐臺的側面，沿著一條母線剪開後，可以得到它的側面展開圖，其面積即為側面的面積，例如：
(1) 圖2中，圓柱的高為h，底面半徑為r，則其側面展開圖為長 ，寬h之長方形，於是其側面的面積為 。
(2) 圖3中，圓錐側面的展開圖為一扇形。設圓錐底面半徑為r，母線長（斜高）為s，則其側面的面積為 ，也就是 。
(3) 圖4中，圓錐臺側面的展開圖為扇形環。設圓錐臺上、下底面半徑分別為 ，母線長為 ，其側面的面積為 ，其中 為上半圓錐的母線長。
另一方面，由 得
；
故知
即
於是此扇形環的面積 可寫成
也就是說，上、下底面半徑分別為 ，母線長為 的圓錐臺之側表面的面積等於其上、下底面圓周長的和與母線長乘積的 ：
（圓錐臺的側表面積公式）
特別情形：底半徑r，斜高s（即母線長）的圓錐之側表面積為：
。
三、球、球冠、球帶及其表面積 [（1）]
球面是空間中與定點O的距離恆為一定數r的所有點形成的圖形，定點O叫做球心，定數r叫做球半徑，球心O與球面上任一點的連接線段也叫做球的半徑，球面上兩點所決定的線段叫做弦，通過球心的弦叫做直徑。
現在我們也可以另一方式來描述球面：以半圓的直徑所決定之直線為旋轉軸，此半圓弧繞旋轉軸一圈，旋轉所得的曲面圖形即為一球面，如圖5所示；這樣所得球面，仍然可確定是以半圓的圓心為球心，半圓的半徑為半徑的球面。
如果用一個平面去截一個球，則截面為一個圓面或一點。球的截面有如下之重要性質：
(1) 球心與圓面的圓心連接之直線垂直於截面，如圖6(a)；
(2) 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面積之半徑r有如下的關係：
。
當d = 0時，截面通過球心，r = R，這時球面被截得的圓最大，如圖6(b)，這樣的圓叫做球的大圓，不經過球心的截面所得的圓叫做球的小圓，如圖6(a)、(c)。
當d = R時，r = 0，截面變成一個點，這個點是截平面與球的唯一公共點；與球只有一個交點的平面叫做球的切面，如圖6(d)的平面 ，球與切面的公共點A叫做切點。
再來，我們介紹與球面相關的題材──球冠及其計算表面積公式。
球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底面，垂直於截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高，如圖7(a)、(b)；球冠也可視為一段圓弧以過它的一個端點之直徑為軸旋轉一圈所成的曲面，如圖7(c)、(d)。
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